unb 2010 · Questão 137/180

Questão 137

MatemáticaFácil

No sistema de coordenadas cartesianas xOy, cuja unidade de medida de comprimento é o centímetro, o ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + yi, em que x = Re(z) é a parte real, y = Im(z) é a parte imaginária e i é a unidade imaginária. Nesse sistema, considere que, em certo instante, uma partícula ocupa a posição P = (x, y) e que Q = (x', y') seja um ponto do plano, com

$P\ne Q$

. Considere as matrizes

$A=\left[\begin{matrix}cos\theta&-sen\theta\\sen\theta&cos\theta\end{matrix}\right],$

$B=\left[\begin{matrix}3&0\\0&2\end{matrix}\right]$

$C=A-\lambda I_2$

, em que I₂denota a matriz identidade de ordem 2, e

$\lambda$

$\theta$

são números reais com

$0<\theta\le2\pi$

Representando os pontos P e Q pelas matrizes colunas

$P=\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]$

e e tendo por base as informações acima, julgue o item.

Se a partícula parte da origem e, depois, descreve a trajetória fechada mais curta que passa pelas raízes complexas da equação z⁴ = 1, no sentido crescente de seus argumentos, então a distância percorrida pela partícula é inferior a 6 cm.